DATA 622 Meetup 5: Naive Bayes and Classification Metrics

George I. Hagstrom

2026-02-23

Week Summary

• I you are not in a group and working on your proposal, message me asap!
  • Proposal Due in two weeks.
  • Each team reach out to schedule 5-10 minute meeting during March 8 week
• HW 3 on Classification due next week
• Coding vignette on Naive Bayes

HW 2 Summary

• There were lots of choices:
  • To impute parental education or not
  • To log transform earnings or not
  • What to do when earnings=0?
  • How to go about selecting variables

To Impute or Not to Impute….

• Depends on why variables are missing
  • Missing Completely At Random- dropping is ok
  • Some characteristic is different about missing- imputation might be needed
  • Missingness related to value of variable (hard)

‘log’ transform earnings?

• Most said yes
  • Generally wise choice
  • Otherwise need weighted least squares
  • It is interpretable!

Earnings = 0?

• Biggest Challenge of ‘log’ transform
  • Option 1: Drop the 0 values
  • Option 2: Add nominal value to earnings

Drop the 0 Values?

• Censored/truncated outcome bias
• Must interpret model differently
• Major problem in social sciences data

Add a constant?

• Adding a constant will add a “point mass” in left tail
• Biases your parameter estimates

https://aosmith.rbind.io/2018/09/19/the-log-0-problem/

Add a constant?

• Adding a constant will add a “point mass” in left tail
• Biases your parameter estimates

https://aosmith.rbind.io/2018/09/19/the-log-0-problem/

Gold Standard

• Given covariates \(\mathbf{x}\), model two things:
  • \(p(y=0|\mathbf{x}\), i.e. probability of 0
  • \(p(y|\mathbf{x},\, y>0)\), i.e. combine with the drop model

Two Stage Model

• logistic regression for \(y=0\): \[ p(y=0|\mathbf{x}) = \frac{1}{1 + \exp(\sum_{j=0}^p \beta_j x_j)} \]
• log-linear regression for \(y>0\) \[ p(\log(y)|\mathbf{x},y>0) \sim \mathrm{normal}\left(\sum_{j=0}^p w_jx_j,\sigma^2\right) \]

What if the zeros are caused by an important unobserved variable

• eg a health condition that effects low wage workers more than high wage workers
• 2000 Nobel Prize in Econ for Heckman Correction
• Very generic and powerful technique, applies more broadly

Forward/Backward Selection?

• Can get stuck in a local minimum
• Best: Use expert knowledge a design few models
• Never use it for inference

Types of errors

• Credit dataset:
  • Defaults rare, Bayes decision rule predicts no defaults!
  • False Negative: predicted no default, default happened
  • False Positive: predicted default, no default happened

Decision Thresholds

• Consequences of mistakes can vary:
  • Predict rain wrong you accidentally carried umbrella
  • Predict sun wrong, you arrived to work soaked

Solution: Bias your prediction away from the mistake that has worse consequences

ROC Curve

• Vary decision threshold
• TPR: % positives identified
• FPR: % negatives misidentified

AUC Caution

• Don’t just use AUC to pick models
• Look at ROC curves

mlstory.org

Confusion Matrix

• Tabular counterpart to ROC curve
• Displays amount of different types of errors and successes

Bayes Decision Rule

              precision    recall  f1-score   support

  No Default       0.98      1.00      0.99      1933
     Default       0.75      0.27      0.40        67

    accuracy                           0.97      2000
   macro avg       0.86      0.63      0.69      2000
weighted avg       0.97      0.97      0.97      2000

Confusion Matrix

• Precision: If model said it, was it really true?

\[ p(y=1|g(\mathbf{x})=1) \]

• Recall: If it was true, did the model say it? (TPR)
  • Power, Sensitivity, Detection Probability \[ p(g(\mathbf{x})=1|y=1) \]

Confusion Matrix

• Tabular counterpart to ROC curve
• Displays amount of different types of errors and successes

10% threshold

              precision    recall  f1-score   support

  No Default       0.99      0.94      0.97      1933
     Default       0.30      0.72      0.43        67

    accuracy                           0.94      2000
   macro avg       0.65      0.83      0.70      2000
weighted avg       0.97      0.94      0.95      2000

• Precision: If model said it, was it true?
• Recall: If it was true, did the model say it?

Generative versus Discriminative Models

• Discriminative Model: Tell me \(\mathbf{x}\), and I will tell you \(p(y|\mathbf{x})\)
  • Logistic Regression
• Generative Model: I want the joint probability \(p(\mathbf{x},y)\)
  • Data Generating Process

Generative versus Discriminative

• Classify coints at vending machine
• Discriminative model learns decision boundary with \(p(y|\mathbf{x})\)

Generative versus Discriminative

• Classify coints at vending machine
• Generative starts with distribution of each class \(p(\mathbf{x}|y)\)

Generative versus Discriminative

• Classify coints at vending machine
• Generative also considers abundance of classes \(p(y)\)

Bayes Theorem

• Chain rule of probability: \[ p(\mathbf{x},y) = p(\mathbf{x}|y)p(y) = p(y|\mathbf{x})p(\mathbf{x}) \]
• Leads to Bayes Theorem \[ p(y|\mathbf{x}) = \frac{p(\mathbf{x}|y)p(y)}{p(\mathbf{x})} \]

Classification with Generative Model

• We don’t need to know \(p(\mathbf{x})\) to determine best class \[ g(\mathbf{x}) = \mathrm{argmax}_y p(\mathbf{x}|y)p(y) \]

• Or whatever threshold you would like to use for the classes

Examples of Generative Models

• Linear and Quadratic Discriminant Analysis
• Naive Bayes
• Many types of neural network models:
  • GANs, VAEs, LLMs, Diffusion Models
• Many other powerful ML models, Kernel Density Estimation, LDA, some GPs, etc

Advantages of Generative Models

• They work better with lower data

Ng and Jordan 2002

Advantages of Generative Models

• Interpretability: You have a model of each class
• Can generate new examples- it is the main application of LLMs

• Can incorporate prior knowledge

Advantages of Generative Models

• More naturally handle missing data through marginalization
• If \(x_1\) is missing during prediction, just integrate it out: \[ p(x_2,x_3,\cdots,x_p|y) = \int dx_1 p(x_1,x_2,\cdots,x_p|y) \]
• Or if discrete: \[ p(x_2,x_3,\cdots,x_p|y) = \sum_{x_1\in\mathcal{X}} p(x_1,x_2,\cdots,x_p|y) \]
• How easy this is depends on your model

Disadvantages

• Learning \(p(\mathbf{x}|y)\) is hard
• Usually need simplifying assumptions, can go wrong

Disadvantages

• Asymptotically, discriminative classifiers often win:

Ng and Jordan 2022

Naive Bayes

• Stupid looking but very successful method
• Features are conditionally independent give the class:

wikipedia

Naive Bayes

• Stupid looking but very successful method
• Features are conditionally independent give the class: \[ p(\mathbf{x}|y) = p(x_1|y)p(x_2|y)\cdots p(x_p|y) \]
• prior \(p(y)\) comes from observed classes or could be chosen by you \[ p(y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(y=y_i) \]

Conditional Independence

• \(x_1\) and \(x_2\) are conditionally independent given \(y\) if: \[ p(x_1|x_2,y) = p(x_1|y) \]

Conditional Independence

• Consider rain,thunder, and lightning
• rain and thunder are not independent \[ p(R|T) \neq P(R) \]

Conditional Independence

If I see lighting, then hearing thunder doesn’t give me additional information about rain

\[ P(R|T,L) = P(R|L) \]

• Rain is conditionally independent of thunder given lighting

Power of Conditional Independence

• Suppose \(y\) and all the \(x_i\) have two classes each
• Let there be \(100\) features
• Need a parameter for each combination of the 100 fetures!
• \(2(2^p-1) = 10^{30}\) parameters
• Number of water molecules in one million water bottles

Power of Conditional Independence

• Suppose \(y\) and all the \(x_i\) have two classes each
• Let there be \(100\) features
• Naive Bayes: 2 parameters per feature
• 200 total!

Features and Distributions

• \(x_i\) is discrete:
  • Each class has a probability
• \(x_i\) is continuous:
  • Need to pick a family of distributions!
  • Gaussian Naive Bayes: $ x_i (_i,_i)$
  • You may choose other distributions

Training

• Because of conditional independence, each distribution is fit independently
• Usually with maximum likelihood
• Training observations of class \(y\): \(\mathcal{D}_y = \{j : y_j = y\}\)
• \(n_y = |\mathcal{D}_y|\) number of data for that class

Binary Features: \[ \hat{p}(x_i = 1 \mid y) = \frac{1}{n_y}\sum_{j \in \mathcal{D}_y} \mathbf{1}(x_{ji} = 1) \]

Training

• Because of conditional independence, each distribution is fit independently
• Usually with maximum likelihood
• Training observations of class \(y\): \(\mathcal{D}_y = \{j : y_j = y\}\)
• \(n_y = |\mathcal{D}_y|\) number of data for that class

Gaussian likelihood (continuous features): \[ \hat{\mu}_{iy} = \frac{1}{n_y}\sum_{j \in \mathcal{D}_y} x_{ji} \qquad \hat{\sigma}^2_{iy} = \frac{1}{n_y - 1}\sum_{j \in \mathcal{D}_y} (x_{ji} - \hat{\mu}_{iy})^2 \]

Laplace Smoothing

• If there are no examples of a potential value of a feature vector corresponding to a class, the predicted probability will be zero
• Laplace smoothing: Add a dummy observation of each value for each class
• ‘sklearn’ does this by default

Advantages

• Very fast to train (can constantly update model)
• Can handle huge numbers of features
• Low variance (though high bias)
• Direct interpretability
• Low data requirements

Disadvantages

• Conditional Independence never true
• Bad calibration
• More complex models outperform it when data is rich

Misconception

There is nothing Bayesian about Naive Bayes!

• Bayesian methods are all about using probabilities to express uncertainty about model parameters
• Naive Bayes just picks them

Applications

• Spam Filtering!
• Common in medical diagnostics
• Common in insurance/credit due to interpretability
• Bioinformatics (very high dimensional feature space)
• Recommender Systems when time is critical (can handle missing features, train and predict quickly)

Example: Leukemia Types

• Golub 1999 et al
• Two Leukemia Types (AML and ALL)
• Data on expression of 7129 genes
• 72 patients

Leukemia Types

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Leukemia Type

              precision    recall  f1-score   support

         ALL       0.95      0.90      0.92        20
         AML       0.87      0.93      0.90        14

    accuracy                           0.91        34
   macro avg       0.91      0.91      0.91        34
weighted avg       0.91      0.91      0.91        34

Interpretation

• In binary features case, compute odds ratios \[ \underbrace{\frac{p(x=1|y=1)}{p(x=1|y=0)}}_{\text{lr for x=1}} \cdot \underbrace{\frac{p(x=0|y=0)}{p(x=0|y=1)}}_{\text{lr for x=0}} \]

Interpretation

• In continuous case, depends on distributions and your choices
• For each feature get a Gaussian for each class

Signal to Noise Ratio

• For two Gaussians, Signal to Noise Ratio is: \[ SNR = \frac{|\mu_0-\mu_1|}{\sqrt{\sigma_1^0+\sigma_1^2}} \]

SNR and Performance

• SNR Determines Shape of ROC Curve

mlstory.org

Signal To Noise Ratio

• Can rank genes by SNR

Bad Calibration

• Notice how the model is completely confident

Thanks