DATA 622 Meetup 5: Naive Bayes and Classification Metrics

George I. Hagstrom

2026-02-23

Week Summary

  • I you are not in a group and working on your proposal, message me asap!
    • Proposal Due in two weeks.
    • Each team reach out to schedule 5-10 minute meeting during March 8 week
  • HW 3 on Classification due next week
  • Coding vignette on Naive Bayes

HW 2 Summary

  • There were lots of choices:
    • To impute parental education or not
    • To log transform earnings or not
    • What to do when earnings=0?
    • How to go about selecting variables

To Impute or Not to Impute….

  • Depends on why variables are missing
    • Missing Completely At Random- dropping is ok
    • Some characteristic is different about missing- imputation might be needed
    • Missingness related to value of variable (hard)

‘log’ transform earnings?

  • Most said yes
    • Generally wise choice
    • Otherwise need weighted least squares
    • It is interpretable!

Earnings = 0?

  • Biggest Challenge of ‘log’ transform
    • Option 1: Drop the 0 values
    • Option 2: Add nominal value to earnings

Drop the 0 Values?

  • Censored/truncated outcome bias
  • Must interpret model differently
  • Major problem in social sciences data

Add a constant?

  • Adding a constant will add a “point mass” in left tail
  • Biases your parameter estimates

https://aosmith.rbind.io/2018/09/19/the-log-0-problem/

Add a constant?

  • Adding a constant will add a “point mass” in left tail
  • Biases your parameter estimates

https://aosmith.rbind.io/2018/09/19/the-log-0-problem/

Gold Standard

  • Given covariates \(\mathbf{x}\), model two things:
    • \(p(y=0|\mathbf{x}\), i.e. probability of 0
    • \(p(y|\mathbf{x},\, y>0)\), i.e. combine with the drop model

Two Stage Model

  • logistic regression for \(y=0\): \[ p(y=0|\mathbf{x}) = \frac{1}{1 + \exp(\sum_{j=0}^p \beta_j x_j)} \]
  • log-linear regression for \(y>0\) \[ p(\log(y)|\mathbf{x},y>0) \sim \mathrm{normal}\left(\sum_{j=0}^p w_jx_j,\sigma^2\right) \]

What if the zeros are caused by an important unobserved variable

  • eg a health condition that effects low wage workers more than high wage workers
  • 2000 Nobel Prize in Econ for Heckman Correction
  • Very generic and powerful technique, applies more broadly

Forward/Backward Selection?

  • Can get stuck in a local minimum
  • Best: Use expert knowledge a design few models
  • Never use it for inference

Types of errors

  • Credit dataset:
    • Defaults rare, Bayes decision rule predicts no defaults!
    • False Negative: predicted no default, default happened
    • False Positive: predicted default, no default happened

Decision Thresholds

  • Consequences of mistakes can vary:
    • Predict rain wrong you accidentally carried umbrella
    • Predict sun wrong, you arrived to work soaked

Solution: Bias your prediction away from the mistake that has worse consequences

ROC Curve

  • Vary decision threshold
  • TPR: % positives identified
  • FPR: % negatives misidentified

AUC Caution

  • Don’t just use AUC to pick models
  • Look at ROC curves

mlstory.org

Confusion Matrix

  • Tabular counterpart to ROC curve
  • Displays amount of different types of errors and successes
Bayes Decision Rule

              precision    recall  f1-score   support

  No Default       0.98      1.00      0.99      1933
     Default       0.75      0.27      0.40        67

    accuracy                           0.97      2000
   macro avg       0.86      0.63      0.69      2000
weighted avg       0.97      0.97      0.97      2000

Confusion Matrix

  • Precision: If model said it, was it really true?

\[ p(y=1|g(\mathbf{x})=1) \]

  • Recall: If it was true, did the model say it? (TPR)
    • Power, Sensitivity, Detection Probability \[ p(g(\mathbf{x})=1|y=1) \]

Confusion Matrix

  • Tabular counterpart to ROC curve
  • Displays amount of different types of errors and successes
10% threshold

              precision    recall  f1-score   support

  No Default       0.99      0.94      0.97      1933
     Default       0.30      0.72      0.43        67

    accuracy                           0.94      2000
   macro avg       0.65      0.83      0.70      2000
weighted avg       0.97      0.94      0.95      2000
  • Precision: If model said it, was it true?
  • Recall: If it was true, did the model say it?

Generative versus Discriminative Models

  • Discriminative Model: Tell me \(\mathbf{x}\), and I will tell you \(p(y|\mathbf{x})\)
    • Logistic Regression
  • Generative Model: I want the joint probability \(p(\mathbf{x},y)\)
    • Data Generating Process

Generative versus Discriminative

  • Classify coints at vending machine
  • Discriminative model learns decision boundary with \(p(y|\mathbf{x})\)

Generative versus Discriminative

  • Classify coints at vending machine
  • Generative starts with distribution of each class \(p(\mathbf{x}|y)\)

Generative versus Discriminative

  • Classify coints at vending machine
  • Generative also considers abundance of classes \(p(y)\)

Bayes Theorem

  • Chain rule of probability: \[ p(\mathbf{x},y) = p(\mathbf{x}|y)p(y) = p(y|\mathbf{x})p(\mathbf{x}) \]
  • Leads to Bayes Theorem \[ p(y|\mathbf{x}) = \frac{p(\mathbf{x}|y)p(y)}{p(\mathbf{x})} \]

Classification with Generative Model

  • We don’t need to know \(p(\mathbf{x})\) to determine best class \[ g(\mathbf{x}) = \mathrm{argmax}_y p(\mathbf{x}|y)p(y) \]

  • Or whatever threshold you would like to use for the classes

Examples of Generative Models

  • Linear and Quadratic Discriminant Analysis
  • Naive Bayes
  • Many types of neural network models:
    • GANs, VAEs, LLMs, Diffusion Models
  • Many other powerful ML models, Kernel Density Estimation, LDA, some GPs, etc

Advantages of Generative Models

  • They work better with lower data

Ng and Jordan 2002

Advantages of Generative Models

  • Interpretability: You have a model of each class
  • Can generate new examples- it is the main application of LLMs
  • Can incorporate prior knowledge

Advantages of Generative Models

  • More naturally handle missing data through marginalization
  • If \(x_1\) is missing during prediction, just integrate it out: \[ p(x_2,x_3,\cdots,x_p|y) = \int dx_1 p(x_1,x_2,\cdots,x_p|y) \]
  • Or if discrete: \[ p(x_2,x_3,\cdots,x_p|y) = \sum_{x_1\in\mathcal{X}} p(x_1,x_2,\cdots,x_p|y) \]
  • How easy this is depends on your model

Disadvantages

  • Learning \(p(\mathbf{x}|y)\) is hard
  • Usually need simplifying assumptions, can go wrong

Disadvantages

  • Asymptotically, discriminative classifiers often win:

Ng and Jordan 2022

Naive Bayes

  • Stupid looking but very successful method
  • Features are conditionally independent give the class:

wikipedia

Naive Bayes

  • Stupid looking but very successful method
  • Features are conditionally independent give the class: \[ p(\mathbf{x}|y) = p(x_1|y)p(x_2|y)\cdots p(x_p|y) \]
  • prior \(p(y)\) comes from observed classes or could be chosen by you \[ p(y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n I(y=y_i) \]

Conditional Independence

  • \(x_1\) and \(x_2\) are conditionally independent given \(y\) if: \[ p(x_1|x_2,y) = p(x_1|y) \]

Conditional Independence

  • Consider rain,thunder, and lightning
  • rain and thunder are not independent \[ p(R|T) \neq P(R) \]

Conditional Independence

If I see lighting, then hearing thunder doesn’t give me additional information about rain

\[ P(R|T,L) = P(R|L) \]

  • Rain is conditionally independent of thunder given lighting

Power of Conditional Independence

  • Suppose \(y\) and all the \(x_i\) have two classes each
  • Let there be \(100\) features
  • Need a parameter for each combination of the 100 fetures!
  • \(2(2^p-1) = 10^{30}\) parameters
  • Number of water molecules in one million water bottles

Power of Conditional Independence

  • Suppose \(y\) and all the \(x_i\) have two classes each
  • Let there be \(100\) features
  • Naive Bayes: 2 parameters per feature
  • 200 total!

Features and Distributions

  • \(x_i\) is discrete:
    • Each class has a probability
  • \(x_i\) is continuous:
    • Need to pick a family of distributions!
    • Gaussian Naive Bayes: $ x_i (_i,_i)$
    • You may choose other distributions

Training

  • Because of conditional independence, each distribution is fit independently
  • Usually with maximum likelihood
  • Training observations of class \(y\): \(\mathcal{D}_y = \{j : y_j = y\}\)
  • \(n_y = |\mathcal{D}_y|\) number of data for that class

Binary Features: \[ \hat{p}(x_i = 1 \mid y) = \frac{1}{n_y}\sum_{j \in \mathcal{D}_y} \mathbf{1}(x_{ji} = 1) \]

Training

  • Because of conditional independence, each distribution is fit independently
  • Usually with maximum likelihood
  • Training observations of class \(y\): \(\mathcal{D}_y = \{j : y_j = y\}\)
  • \(n_y = |\mathcal{D}_y|\) number of data for that class

Gaussian likelihood (continuous features): \[ \hat{\mu}_{iy} = \frac{1}{n_y}\sum_{j \in \mathcal{D}_y} x_{ji} \qquad \hat{\sigma}^2_{iy} = \frac{1}{n_y - 1}\sum_{j \in \mathcal{D}_y} (x_{ji} - \hat{\mu}_{iy})^2 \]

Laplace Smoothing

  • If there are no examples of a potential value of a feature vector corresponding to a class, the predicted probability will be zero
  • Laplace smoothing: Add a dummy observation of each value for each class
  • ‘sklearn’ does this by default

Advantages

  • Very fast to train (can constantly update model)
  • Can handle huge numbers of features
  • Low variance (though high bias)
  • Direct interpretability
  • Low data requirements

Disadvantages

  • Conditional Independence never true
  • Bad calibration
  • More complex models outperform it when data is rich

Misconception

There is nothing Bayesian about Naive Bayes!

  • Bayesian methods are all about using probabilities to express uncertainty about model parameters
  • Naive Bayes just picks them

Applications

  • Spam Filtering!
  • Common in medical diagnostics
  • Common in insurance/credit due to interpretability
  • Bioinformatics (very high dimensional feature space)
  • Recommender Systems when time is critical (can handle missing features, train and predict quickly)

Example: Leukemia Types

  • Golub 1999 et al
  • Two Leukemia Types (AML and ALL)
  • Data on expression of 7129 genes
  • 72 patients

Leukemia Types

  cancer 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 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132 1560 488 1947 183 -225 440 -45 -15 272 -63 -369 -99 925 115 94 -1492 -362 1340 126 -42 569 426 914 -36 255 -30 151 940 1811 -393 -75 939 8710 -8 136 351 28 218 -452 430 391 374 152 30 680 1354 97 89 939 393 759 1233 87 142 818 828 201 152 -52 453 -33 -104 -223 1552 641 198 -1147 26 -342 1164 68 -10 -208 25 16 -467 1063 174 399 109 309 -58 623 48 -446 -52 1707 562 137 36 556 53 552 255 917 -194 75 196 157 858 310 10 -420 226 -386 4824 -8 43 567 -70 -36 776 396 697 -15 746 551 -394 798 243 75 38 35 -25 374 -8 982 -112 1177 -124 682 902 1581 -13 -110 77 -356 -11 -1 28 -1 413 902 2011 766 1100 452 -331 -13 -52 -134 99 -347 -603 287 -3 -6 -48 141 215 241 401 480 473 436 -196 15 60 80 262 440 -1008 912 -31 4837 5502 -546 -273 159 2133 129 24680 132 -47 -90 238 -78 -312 144 367 60 342 278 287 747 21 -105 -31 97 -117 115 18 67 1994 -206 -351 -157 -457 58 -28 465 436 -25 2303 171 -132 0 156 462 -20 -33 -176 226 117 -336 52 -67 166 -564 534 62 502 381 161 31 -53 211 -136 431 -72 174 771 1270 -310 930 1824 1011 -90 -1737 -82 -191 100 -137 -15 3646 104 378 453 -203 -95 -260 8 176 -1524 660 1073 383 -149 1258 -803 -171 -206 65 139 267 1023 -89 171 1290 1611 944 376 193 33 164 1271 75 -157 181 -796 988 14373 431 21 36 77 194 -60 120 4982 87 435 1221 3029 -117 -623 530 519 -273 379 89 -211 257 181 87 263 5 -10 -57 33 119 1277 609 -1129 -1092 87 26 532 571 4844 8502 13 122 483 137 2434 184 80 569 -3505 537 -599 569 509 1712 -45 273 75 -178 -823 -705 149 455 2355 -25 168 221 196 836 -515 488 -732 1130 -11 -599 -1149 752 -369 -25 -127 -193 -144 1 157 -72 110 223 97 -38 -618 -100 -223 2438 -73 -662 -952 742 9313 -208 504 -117 868 870 181 586 1861 -198 -141 813 699 38 62 687 181 -53 336 830 3 63 1270 161 -808 35 -653 324 154 3 -527 191 1488 -8 159 -15 -21 -2629 -31 1293 835 814 -3343 15 -21 275 557 152 -45 -117 776 386 -21 -342 705 1203 408 120 488 1213 337 15907 2265 -1019 164 -114 38 -57 119 1976 238 -1737 -3123 -732 614 -68 -784 2071 82 -1389 1018 40 -26 -233 7389 -50 -124 228 297 141 5368 1557 -425 2453 685 -78 700 6793 38 361 315 2065 25 25427 -2364 -2214 -7260 -24024 -1423 -367 179 920 122 -189 131 -173 361 -373 3293 1492 3431 110 159 821 102 2543 640 1053 55 241 176 354 -68 1201 92 53 830 174 -13 -137 183 265 868 1762 85 4104 -263 426 -15 -818 -58 45 1226 277 68 -131 -8 294 -240 255 47 63 -38 -152 -599 586 1354 803 463 366 -70 -404 -332 -78 1213 235 468 354 6 31 -58 -45 376 258 1043 946 804 -126 -13 14146 -184 50 -31 80 -5 -43 -73 173 -872 -168 30 -87 1473 25 -193 -21 -238 576 -124 267 174 -87 -181 67 1107 -169 58 -65 198 117 -159 -89 -75 189 273 645 389 43 455 -5 85 -23 1055 -16 198 159 1107 -226 157 142 146 203 -164 70 73 152 94 18 -117 114 1834 50 488 104 -31 53 423 9502 -60 525 -263 -470 515 -85 203 -1181 -21 75 -87 1693 1389 -356 -243 379 137 18 -11 445 194 1182 15 105 117 94 36 43 -146 497 115 320 201 -84 1 344 -47 -53 1858 186 -174 -463 -1245 687 104 473 280 223 131 -102 199 105 -15 -85 1290 92 569 5837 1114 949 23 1098 -1912 1572 -114 675 -10 109 10 58 -67 213 -347 915 268 114 783 1223 1594 136 78 344 161 473 -131 1033 757 -127 381 10 741 1401 114 -102 -1290 725 30 275 122 3481 -35 -349 5586 287 351 3839 38 -28 3481 4150 2226 -1270 84 70 1379 -168 -186 -314 -82 -26 433 374 562 73 685 206 -583 411 1087 1021 502 94 124 362 389 1313 243 -309 -294 179 -68 181 3216 828 23 999 -33 277 -141 43 131 383 30 102 -11 -57 -168 -193 -57 297 -53 552 362 -618 379 280 351 211 20531 18708 1828 452 720 9542 7144 835 993 -361 -68 448 -16 317 67 36 546 304 243 349 312 -488 -2300 552 30 819 -178 151 -18 1140 482 10 369 -42

Leukemia Type

              precision    recall  f1-score   support

         ALL       0.95      0.90      0.92        20
         AML       0.87      0.93      0.90        14

    accuracy                           0.91        34
   macro avg       0.91      0.91      0.91        34
weighted avg       0.91      0.91      0.91        34

Interpretation

  • In binary features case, compute odds ratios \[ \underbrace{\frac{p(x=1|y=1)}{p(x=1|y=0)}}_{\text{lr for x=1}} \cdot \underbrace{\frac{p(x=0|y=0)}{p(x=0|y=1)}}_{\text{lr for x=0}} \]

Interpretation

  • In continuous case, depends on distributions and your choices
  • For each feature get a Gaussian for each class mlstory.org

Signal to Noise Ratio

  • For two Gaussians, Signal to Noise Ratio is: \[ SNR = \frac{|\mu_0-\mu_1|}{\sqrt{\sigma_1^0+\sigma_1^2}} \]

SNR and Performance

  • SNR Determines Shape of ROC Curve

mlstory.org

Signal To Noise Ratio

  • Can rank genes by SNR

Bad Calibration

  • Notice how the model is completely confident

Thanks